Preskoči na vsebino Preskoči na navigacijo

Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko

Language:
RSS:
Navigacija

We think in generalities, but we live in details.

Alfred North Whitehead
Nahajate se tu: Domov Raziskave in projekti Raziskovalni projekti J1-7025 - Izbrani problemi nelinearne analize
Akcije dokumenta

J1-7025 - Izbrani problemi nelinearne analize

Temeljni znanstveno-raziskovalni projekt.

Vodja projekta: prof. dr. Dušan Repovš

Naslov projekta: Izbrani problemi nelinearne analize

Šifra projekta: J1-7025

Veda: Naravoslovno matematične vede

Trajanje projekta: 01. 01. 2016 - 31. 12. 2018.

Cenovna kategorija: B

Letni obseg projekta: 0,94 FTE

Sodelujoča organizacija: 1554 - Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko

Projekt sofinancira: Javna agencija Republike Slovenije za raziskovalno dejavnost.

Vsebinski opis projekta:

Projekt spada v presek teoretične in uporabne nelinearne analize. Osredotoča se na analitični študij nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb, ki opisujejo modele iz uporabnih znanosti. Koncentrirali se bomo na nekaj specifičnih razredih nelinearnih sistemov s ciljem pridobitve fizikalno smiselnih rezultatov z uporabo analitičnih orodij.

V projektu bomo obravnavali dva razreda nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb (PDE): (i) eliptični in evolucijski problemi z variabilnim eksponentom in (ii) nelokalne frakcijske enačbe. V obeh primerih nas bo zanimala kvalitativna asimptotična in bifurkacijska analiza rešitev. Posebej se bomo posvetili razumevanju novih pojavov, ki jih opisujejo tovrstni nelinearni problemi.

V prvem primeru nas zanimajo razni kompeticijski in perturbacijski učinki za nelinearne enačbe z enim ali več variabilnimi eksponenti. Upoštevamo spektralno karakterizacijo nehomogenih diferencialnih operatorjev, kritične eksponente Soboljevega tipa, nedoločene potenciale z možnimi singularnostmi in bifurkacijsko analizo rešitev. Novi fenomen pri tovrstnih novih problemih zadeva različne pojave koncentracije spektra, namreč obstoj zveznega spektra, ki je skoncentriran ali blizu izhodišča ali pa v neki okolici neskončnosti. Študij nelinearnih problemov z variabilnimi eksponenti je motiviran z relevantnimi aplikacijami pri ne-newtonskih (pametnih) tekočinah, rekonstrukciji slike, robotiki ali podobnih modelih matematične fizike ali drugih aplikativnih ved.

Nelokalni problemi s frakcijskim Laplaceovim operatorjem se pojavljajo pri opisu raznih fenomenov, kot so fizika plazme, širjenje ognja, Hamilton-Jacobi  s kritično frakcijsko difuzijo ali fazni prehodi v okviru gama konvergence. Z vidika verjetnostnega računa je frakcijski Laplaceov operator infinitezimalni generator Lévyjevega procesa. Zanima nas kvalitativna analiza nelokalnih enačb Schrödingerjevega and Kirchhoffovega tipa. Naš glavni namen je nadaljevanje in razširitev naših številnih dosedanjih rezultatov na tem področju in razvoj rigorozne variacijske in topološke analize rešitev. Upoštevamo naslednje smeri: boljše razumevanje kritičnih pojavov Brezis-Nirenbergovega tipa; študij superkritičnega primera; kombinirani učinki pri nelokalnih frakcijskih enačbah; bifurkacijska analiza rešitev.

Naša analiza kombinira izboljšana orodja nelinearne analize vključno z variacijskimi metodami (teorija kritičnih točk, Morseova teorija, energijske ocene), topoloških metod (Ljusternik-Schnirelmannova teorija, deformacijske metode, kategorija in rod), metode monotonosti (nelinearni princip maksimuma, principi primerjanja) in asimptotične analize (regularne variacijske teorije Karamata). V vseh primerih želimo najti najbolj naravne hipoteze in študirati predvsem modele iz uporabnih ved.

Nameravamo publicirati svoje rezultate v vodilnih revijah teoretične in uporabne matematike. V uglednih znanstvenih založbah   bomo objavili tudi več novih monografij. Naše raziskave se bodo izvajale v sodelovanju z odličnimi raziskovalnimi skupinami iz Evropske unije, Združenih držav Amerike, Ruske federacije, Kitajske in Japonske, v okviru sedanjih (in prihodnjih) mednarodnih (bilateralnih in multilateralnih) raziskovalnih projektov in omrežij. Planiramo organizacijo mednarodne konference in poletne šole, z udeležbo vodilnih tujih ekspertov, kjer bodo predstavljeni novi rezultati in bo omogočena intenzivna izmenjava znanja. Nadaljevali bomo z uporabo naših rezultatov na področjih izven matematike. Razvijali bomo doktorski program na teh raziskovalnih področjih v Sloveniji in intenzivno vpeljevali naše doktorske študente v raziskovalno delo.

Sestava projektne skupine: povezava na SICRIS

Bibliografske reference: povezava na SICRIS