Preskoči na vsebino Preskoči na navigacijo

Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko

Language:
RSS:
Navigacija

Where a calculator like the ENIAC today is equipped with 18,000 vacuum tubes and weighs 30 tons, computers in the future may have only 1,000 vacuum tubes and perhaps weigh only 1 1/2 tons.

Popular Mechanics, March 1949
Nahajate se tu: Domov Raziskave in projekti Raziskovalni projekti J1-9104 - Analiza, geometrija in parcialne diferencialne enačbe
Akcije dokumenta

J1-9104 - Analiza, geometrija in parcialne diferencialne enačbe

Temeljni znanstveno-raziskovalni projekt.

Vodja projekta: prof. dr. Franc Forstnerič

Naslov projekta: Analiza, geometrija in parcialne diferencialne enačbe

Šifra projekta: J1-9104

Veda: Naravoslovno matematične vede

Trajanje projekta: 01. 07. 2018 - 30. 06. 2021.

Cenovna kategorija: B

Letni obseg projekta: 1,73 FTE

Sodelujoča organizacija:

1554 - Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko

Projekt sofinancira: Javna agencija Republike Slovenije za raziskovalno dejavnost.

Vsebinski opis projekta:

Usmerjeni holomorfni sistemi. Študirali bomo holomorfne kontaktne ter splošnejše Pfaffove sisteme s poudarkom na analizi dihotomije med fleksibilnostjo in rigidnostjo sistemov, razumevanje dinamike holomorfnih integralnih krivulj ter topološke strukture prostora takih krivulj.  Nedavno smo konstruirali prvi znani primer hiperbolične holomorfne kontaktne strukture na evklidskih prostorih in nadaljevali bomo z raziskavami tega pojava. Skušali bomo najti analitične in geometrijske invariante holomorfnih kontaktnih struktur, ki bi vodile k njihovi klasifikaciji.

Mnogoterosti Oka so kompleksne mnogoterosti, za katere velja princip Oka. V literaturo jih je uvedel Forstnerič leta 2009 in postale so pomemben fokus razvoja kompleksne geometrije.  Raziskovali bomo povezave med lastnostjo Oka ter drugimi fleksibilnostmi lastnostmi ter vlogo razreda Oka v klasifikaciji kompaktnih kompleksnih mnogoterosti. Razvili bomo aproksimacijsko teorijo tipa Mergeljan, Arakeljan in Carleman za preslikave v Oka in sorodne mnogoterosti. Razvijali bomo konstrukcije holomorfnih preslikav v Steinove mnogoterosti z  lastnostjo gostote, ki imajo tesne povezave s problemi holomorfne dinamike. Področje ima pestro paleto aplikacij, med njimi teorijo minimalnih ploskev, ki jo intenzivno razvijamo.

CR-singularnosti gladkih podmnogoterosti v kompleksnih prostorih. Analizirali bomo kompleksne točke 2n-dimenzionalne  realne podmnogoterosti v (n+1)-dimenzionalni kompleksni mnogoterosti. Skušali bomo najti natančno klasifikacijo v primeru, ko je kompleksna točka kvadratično ravna in raziskavo nadaljevati na primer, da je mnogoterost neminimalna v okolici kompleksne točke.

Posplošena Thomova domneva. Kronheimer in Mrowka sta leta 1994 pokazala, da imajo nesingularne kompleksne krivulje v CP2 minimalni rod med vsemi ploskvami v danem homološkem razredu. Pred kratkim smo pokazali, da v višjih dimenzijah kompleksne hiperploskve nasploh niso topološko najenostavnejši predstavniki danih homoloških razredov. Raziskali bomo situacijo glede kompleksnih podmnogoterosti v CPn v višjih kodimenzijah.

Napolnitve z diski v skoraj kompleksni mnogoterosti. M.Gromov je razvil uporabo analize na skoraj kompleksnih mnogoterostih v kompleksni, simplektični in kontaktni geometriji. Odprto je vprašanje analoga izreka Bedford-Klingenberg o napolnitvi gladke vložene 2-sfere v C2 z Levi-ravnimi hiperploskvami, razslojenimi s holomorfnimi diski. Znani so delni rezultati v (Eliashberg, Gaussier-Sukhov). Cilj raziskave je odstraniti nekatere predpostavke in s tem narediti rezultate bistveno uporabnejše. To bomo skušali doseči s poglobljeno obravnavo deformacijske teorije za Bishopove diske.

Nelinearne Fourierove transformacije. Najpomembneše orodje za  reševanje linearnih PDE je Fourierova analiza, ki najprej določi sistem elementarnih rešitev, splošna rešitev pa je linearna superpozicija elementarnih. Ta pristop  ima nelinearno analogijo, to je inverzna sipalna metoda oz. NLFT transformacija. Že dlje časa se ukvarjamo s transformacijo, ki pripada enačbam tipa AKNS. Konstruirali smo iterativno shemo za izračun inverza v obliki konvergentne vrste. V raziskavi se nameravamo posvetiti eksplicitni konstrukciji nelinearnih elementarnih rešitev in njihovih superpozicij.

Spektralna teorija ne-sebiadjungiranih operatorjev. Študirali bomo spektralni problem Lf= λω(x)f, kjer je L  formalno simetričen in enakomerno eliptičen differencialni operator v odprti domeni v RN in je ω utež. Glavni namen raziskave je najti potrebne in zadostne pogoje za podobnost operatorja A=L/ω nekemu sebi-adjungiranemu operatorju.

Problemi v numerični analizi. Ukvarjali se bomo z geometrijsko interpolacijo krožnih lokov s polinomskimi parametričnimi krivuljami in s konstrukcijo polinomskih aproksimatov, ki ohranjajo določene geometrijske karakteristike krožnega loka.

Sestava projektne skupine: povezava na SICRIS

Bibliografske reference: povezava na SICRIS