A mathematician who is not also something of a poet will never be a complete mathematician.
Karl WeierstrassUporaba algebre v analizi
temeljni raziskovalni projekt
Študirali bomo operatorje definirane tako na realnih ali kompleksnih
Banachovih in Hilbertovih prostorih ter na Banachovih mrežah, kot tudi
linearne operatorje na končnorazsežnih vektorskih prostorih, to je
matrike, nad poljubnim obsegom. Ukvarjali se bomo z družinami
operatorjev, ki imajo še kako dodatno algebraično strukturo, kot so
polgrupe, grupe, vektorski prostori, asociativne algebre, Liejeve
algebre in se posvetili problemom v zvezi s skupnimi invariantnimi
podprostori teh družin. Prav tako je zanimiv problem, kako opisati
družine operatorjev kot algebraične podmnožice, t.j., varietete, v
afinih in projektivnih prostorih.
Nadalje nameravamo prenesti
teorijo Banachovih algeber v kontekst Banachovih modulov. Študirali
bomo upodobitve Banachovih modulov, razne spektre teh modulov in
strukturne topologije na njih ter to uporabili pri razširitvi nekaterih
rezultatov iz lokalne spektralne teorije operatorjev iz okvira
Banachovih algeber v širši kontekst Banachovih modulov.
Naslednji
cilj raziskave je razviti teorijo reprezentacij za urejene asociativne
kolobarje z involucijo. V komutativnem primeru (s trivialno involucijo)
so reprezentacije kar homomorfizmi. V nekomutativni teoriji vlogo
kolobarjev zveznih funkcij igrajo Cx - algebre, vlogo homomorfizmov pa
ireducibilne reprezentacije Cx-algeber. Problemi so kako vsakemu
urejenemu asociativnemu kolobarju z involucijo prirediti njegovo ovojno
Cx -algebro, kako karakterizirati Cx-algebre v razredu urejenih
asociativni kolobarjev z involucijo in kako posplošiti
Kadison-Duboisovo in Jacobijevo reprezentacijo na urejene nekomutativne
kolobarje z involucijo.
Nadalje bomo raziskovali teorijo ohranjevalcev. Naš cilj je karakterizacija poljubnih (lahko tudi neinjektivnih oz. nesurjektivnih) aditivnih preslikav, ki bodisi ohranjajo idempotente ranga ena, bodisi jih slikajo v nič.
TRAJANJE: 1.7.2004 - 30.6.2007