Vodja projekta: prof. dr. Peter Šemrl

Naslov projekta: Preslikave na matrikah in operatorjih

Šifra projekta: J1-8133

Veda: Naravoslovno matematične vede

Trajanje projekta: 01. 05. 2017 - 30. 04. 2020.

Cenovna kategorija: B

Letni obseg projekta: 0,91 FTE

Vsebinski opis projekta:

Znanstvena izhodišča: Začetek šstudija ohranjevalcev sosednosti na različnih prostorih matrik sega v štirideseta leta prejšsnjega stoletja, ko je L.K. Hua objavil serijo prelomnih člankov na to temo. Njegovi izreki opisejo splošno obliko bijektivnih preslikav na določenih matričnih prostorih, ki ohranjajo sosednost v obe smeri. Šele v zadnjih letih so bile dokazane prve znatne izboljšave teh trditev ob šibkejsi predpostavki ohranjanja sosednosti zgolj v eni smeri in ob odsotnosti privzetka bijektivnosti. Poleg tega se je začela obravnava takih preslikav med prostori matrik različnih velikosti. Tukaj bi izpostavili nedavno dobljeno optimalno verzijo fundamentalnega izreka geometrije pravokotnih matrik, ki jo je projektni vodja objavil v reviji Memoirs of the American Mathematical Society. Te ideje so tesno povezane z več drugimi področji matematike in matematične fizike, kot sta teorija relativnosti in matematične osnove kvantne mehanike.

Predstavitev problema: Huajevi izreki podajo močne zaključke ob razmeroma šibkih predpostavkah. Zaradi pomebnih uporab je zanimivo vprašanje, ali jih je mogoče dokazati ob še šibkejsih predpostavkah. Tako bomo imeli pred očmi dva poglavitna cilja:

• Izboljšava fundamentalnih izrekov geometrije matrik in če bo le mogoče, bi radi ugotovili, kakšne so optimalne verzije teh izrekov.
• Uporabe v linearni algebri, operatorski teoriji, matematični fiziki in geometriji.

Izvirnost pričakovanih rezultatov: Glavno orodje v dokazih Huajevih fundamentalnih izrekov geometrije matrik je karakterizacija maksimalnih sosednostnih množic matrik, to je takih množic, da sta njihova poljubna različcna elementa sosedna. Če imamo opravka z bijektivno preslikavo, ki ohranja sosednost v obe smeri, potem seveda ta preslikava slika vsako tako množico na maksimalno sosednostno množico. Seveda isto velja za preseke takih množic. Le-ti pa imajo lepe geometrijske lastnosti, ki omogočajo uporabo fundamentalnih izrekov projektivne in afine geometrije. Ker je naš cilj dobiti optimalne verzije Huajevih izrekov, bi radi opisali splošno obliko preslikav, ki ohranjajo sosednost le v eni smeri, in to brez privzetka bijektivnosti ali injektivnosti ali surjektivnosti. Za to bodo potrebne povsem nove metode. Jasno je tudi, da do sedaj uporabljene standardne metode niso dovolj močne za dokaz želenih trditev na področju matematične fizike. Tako, na primer, je povsem odprto vprasanje, kaj so vse možne oblike degeneriranih preslikav, ki ohranjajo svetlobne stožce zgolj v eni smeri.

Sestava projektne skupine: povezava na SICRIS

Bibliografske reference: povezava na SICRIS