Temeljni znanstveno-raziskovalni projekt

Naslov projekta: Prirezani momentni problem prek realne algebraične geometrije
 
Šifra projekta: J1-60011
 
Veda: Naravoslovno matematične vede

Trajanje projekta: 01. 01. 2025 - 31. 12. 2027.
 
Cenovna kategorija: A
 
Letni obseg projekta: 0,97 FTE
 
Sodelujoča organizacija: 1539 - Univerza v Ljubljani, Fakulteta za računalništvo in informatiko

Projekt sofinancira: Javna agencija Republike Slovenije za znanstvnoraziskovalno in inovacijsko dejavnost.
 
Vsebinski opis projekta:

Momentni problem (MP) je klasično vprašanje v analizi, ki se preučuje od konca 19. stoletja in se je prvič pojavilo v delu slavnega nizozemskega matematika Stieltjesa leta 1894. Vprašanje je bilo, ali dano zaporedje realnih števil predstavlja momente neke porazdelitve na Borelovi sigma-algebri na poltraku. Ko je Stieltjes rešil problem, je to vodilo do nadaljnjih vprašanj, v katerih so poltrak zamenjali z realno osjo (Hamburger, 1920) ali pa s končnim intervalom (Hausdorff, 1923). Med drugimi slavnimi matematiki, ki so pomembno prispevali na zgodnji razvoj področja, omenimo Carlemana, Nevanlinno in Riesza. Dejstvo, ki je pri MP še posebej navdušujoče, je njegova povezanost s številnimi področji matematike, kot so teorija operatorjev, verjetnost in statistika, inverzni problemi, numerična analiza, v zadnjem času pa še realna algebraična geometrija, polinomska optimizacija in teorija sistemov.

Verzija MP, ki se v praksi pojavlja še pogosteje, je prirezani momentni problem (PMP), kjer je v zaporedju podanih le končno mnogo števil. Poleg uporabnosti v praksi, pa je PMP splošnejši od MP, kar je nedavni pomemben rezultat Stochela (2010). Akhiezer, Krein in Nudelman so v zgodnji drugi polovici 20. stoletja naredili veliko dela na področju PMP v eni spremenljivki, medtem ko se je v zadnjih treh desetletjih zanimanje za PMP ponovno začelo s članki Curta in Fialkowa. V njunih rezultatih je zelo pomembna povezava PMP z realno algebraično geometrijo (RAG). RAG je veja matematike, ki preučuje zagotovila, imenovana Positivstellensatzi, za pozitivnost polinomov na pozitivnostnih domenah drugih polinomov. Začetek RAG je Hilbertov 17. problem iz leta 1900, ki je spraševal, ali je vsak pozitivni polinom vsota kvadratov racionalnih funkcij in na katerega je leta 1926 pritrdilno odgovoril Artin. To je kasneje vodilo do nadaljnjih posplošitev problema. Povezava med MP in RAG je Havilandov izrek iz leta 1935, ki pravi, da ima MP rešitev natanko tedaj, ko je ustrezen funkcional, definiran na vektorskem prostoru vseh polinomov, pozitiven na pozitivnih polinomih. Ta povezanost je ponovno oživela s Schmuedgenovo rešitvijo večdimenzionalnega MP leta 1991, ki združi Positivstellensatz z idejami iz funkcionalne analize. Za uporabe te povezave za PMP pa potrebujemo zagotovila pozitivnosti z mejami na stopnje nastopajočih polinomov. Takšna zagotovila je težko izpeljati in ravno to je razlog, da so konkretne rešitve PMP znane le v posebnih primerih, npr. za dvodimenzionalne primere, ko je nosilec iskane mere vsebovan na kvadratni krivulji v ravnini. Poleg pozitivne semidefinitnosti momentnih matrik konkretne rešitve vsebujejo dodatne numerične pogoje, ki jih ni lahko izpeljati. PMP na ravninskih krivuljah stopnje več kot dve je v splošnem nerešen problem.

Cilji projekta so: (i) Rešitev PMP na kubičnih in racionalnih krivuljah. (ii) Rešitev PMP v dvodimenzionalnem prostoru. (iii) Posplošitev rezultatov iz skalarnega na matrični PMP.

Sestava projektne skupine: povezava na SICRIS
 
Bibliografske reference: povezava na SICRIS